Himpunan penyelesaian Cos 2x + 5 sin x + 2 =0 untuk 0° ≤ x ≤ 2π adalah

Himpunan penyelesaian [tex]\sf cos\:2x + 5\:sin\:x + 2 = 0[/tex] untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah [tex]\boxed{\sf HP = \left\{\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right\}}[/tex] Selengkapnya dapat disimak pada pembahasan di bawah ini!

PENDAHULUAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan trigonometri untuk persamaan sinus dan rumus sudut rangkap trigonometri untuk fungsi cosinus.

Trigonometri adalah materi matematika yang berhubungan dengan perbandingan antara sudut dengan sisi pada segitiga.

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan menggunakan rumus berikut, antara lain :

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\sf Persamaan~sin~x = sin~\alpha [/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\bf x = \alpha + k \cdot 2\pi}}~\sf (atau)~\boxed{\boxed{\bf x = (\pi - \alpha) + k \cdot 2\pi}}[/tex]

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf cos~2x = 1 - 2~sin^2~x}}[/tex]

dimana :

○ k = konstanta (k ∈ bil. bulat)

Kembali ke soal, mari simak penyelesaiannya pada pembahasan di bawah ini!

PEMBAHASAN

Diketahui :

Berdasarkan pendahuluan di atas, diketahui bahwa:

• [tex]\sf cos~2x = 1 - 2~sin^2~x[/tex]

Ditanya : himpunan penyelesaian [tex]\sf cos\:2x + 5\:sin\:x + 2 = 0[/tex] adalah . . . ?

Jawab :

[tex]\displaystyle\rm cos~2x + 5~sin~x + 2 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm 1 - 2~sin^2~x + 5~sin~x + 2 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm - 2~sin^2~x +5~sin~x + 1 + 2 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm - 2~sin^2~x +5~sin~x + 3 = 0~~(\sf kali~kedua~ruas~dengan~-1)[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 2~sin^2~x - 5~sin~x - 3 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\sf misalkan: \rm sin~x = y[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 2y^2 - 5y - 3 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm (2y + 1)(y - 3) = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm \boxed{\rm y = -\dfrac{1}{2}}~\vee~y = 3~(TM)[/tex]

Kita cukup gunakan [tex]\sf y = -\dfrac{1}{2}[/tex] karena [tex]\sf y = 3[/tex] tidak memenuhi. Mengapa demikian? karena [tex]\sf sin\:x=3[/tex] tidak terdefinisi.

[tex]\displaystyle\rm y = -\dfrac{1}{2} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = -\dfrac{1}{2} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = -\:sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)[/tex]

[tex]\displaystyle\rm x = \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + k\cdot 2\pi[/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{6}~(TM) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 1 \Rightarrow \dfrac{11\pi}{6} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 2 \Rightarrow \dfrac{23\pi}{6}~(TM) [/tex]

diperoleh: [tex]\sf x= \dfrac{11\pi}{6}[/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = sin\left(\pi - \left(- \dfrac{\pi}{6}\right)\right)[/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)[/tex]

[tex]\displaystyle\rm x = \dfrac{7\pi}{6} + k\cdot 2\pi [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow \dfrac{7\pi}{6} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 1 \Rightarrow \dfrac{19\pi}{6}~(TM)[/tex]

diperoleh: [tex]\sf x = \dfrac{7\pi}{6}[/tex]

Keterangan: TM = tidak memenuhi. Dikatakan tidak memenuhi karena nilai x tersebut berada di luar interval 0 ≤ x ≤ 2π .

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\rm\therefore HP = \left\{ \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}}}[/tex]

PELAJARI LEBIH LANJUT

Materi tentang trigonometri lainnya dapat disimak di bawah ini :

• Jika sin(2x + 60°) = a dan sin(x + 45°) = b, maka sin (3x + 105°) · sin(x + 15°) brainly.co.id/tugas/11661771
• Jika cos x = 2 sin x, maka nilai sin x · cos x adalah brainly.co.id/tugas/269404
• Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x – √3 = 0, untuk 0 < x < 2π brainly.co.id/tugas/180864
• Himpunan penyelesaian persamaan 4 sin² x – 5 sin x – 2 = 2 cos² x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah brainly.co.id/tugas/10176293
• Nilai dari sin 285° adalah brainly.co.id/tugas/13094128

____________________________

DETIL JAWABAN

Kelas : XI

Mapel : Matematika

Bab : Bab 2.1 - Trigonometri II

Kode : 11.2.2.1

Kata kunci : persamaan trigonometri, sudut rangkap trigonometri, interval, bentuk radian